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2020-04

Connet 產(chǎn)品小講堂第七期——單頻光纖激光器的頻率噪聲和相位噪聲（一）

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單頻光纖激光器的頻率噪聲和相位噪聲（一）

1.單頻光纖激光器的噪聲性質(zhì)

噪聲的說法可能來源于對(duì)信號(hào)的分析和處理，可以把單頻光纖激光器看成一個(gè)單頻的信號(hào)振蕩器，噪聲和單頻激光信號(hào)相生相伴不離不棄，生死相依。噪聲相對(duì)于信號(hào)而存在，有信號(hào)就有噪聲，噪聲是和信號(hào)在同一頻譜范圍內(nèi)的隨機(jī)過程。單頻光纖激光器的頻率噪聲和相位噪聲，相對(duì)強(qiáng)度噪聲都是如此。

2.表征單頻光纖激光器噪聲的手段 

時(shí)域手段包括方差和自相關(guān)函數(shù)，先介紹方差

在時(shí)域中，考量單頻光纖激光器的噪聲怎么辦呢？核心思想是這樣的：

先設(shè)定單頻信號(hào)一個(gè)參量的特定值作為基準(zhǔn)，比如功率，頻率或者是相位。如果不能準(zhǔn)確測(cè)試這個(gè)基準(zhǔn)值，就選取整個(gè)測(cè)量時(shí)間內(nèi)的平均值作為基準(zhǔn)。

在設(shè)定的時(shí)間內(nèi)，測(cè)量N個(gè)離散的點(diǎn)的值，分別和基準(zhǔn)值做比較，做減法得到差值。

把這些差值做統(tǒng)計(jì)，做平均，以最終的結(jié)果來衡量單頻信號(hào)在固定時(shí)間內(nèi)實(shí)際值偏離基準(zhǔn)的程度。這樣的統(tǒng)計(jì)手段叫做標(biāo)準(zhǔn)樣本方差（Standard Variance）

方差是衡量隨機(jī)變量或一組數(shù)據(jù)時(shí)離散程度的度量。統(tǒng)計(jì)中的樣本方差是每個(gè)樣本值與全體樣本值的平均數(shù)之差的平方值的平均數(shù)。

設(shè)y(t)代表著隨機(jī)噪聲隨著時(shí)間的分布，也就是時(shí)域的情況，標(biāo)準(zhǔn)樣本方差的計(jì)算： 

yi代表著每個(gè)樣本點(diǎn)的具體數(shù)值，上面帶有一橫杠的y代表著平均值，N代表著取樣點(diǎn)也就是樣本的數(shù)量。
標(biāo)準(zhǔn)樣本方差不夠理想，為啥？因?yàn)樵肼暡⒉皇峭耆硐氲碾S機(jī)的穩(wěn)態(tài)的分布，這里穩(wěn)態(tài)分布的意思是和時(shí)間無關(guān)。實(shí)際的情況是有低頻1/f閃爍噪聲（比較長(zhǎng)時(shí)間觀察），某些時(shí)間段的突變?cè)肼暠热缦鄬?duì)強(qiáng)度噪聲峰值的出現(xiàn)。這些因素將會(huì)導(dǎo)致標(biāo)準(zhǔn)樣本不收斂，說人話就是結(jié)果一直在變！時(shí)間長(zhǎng)度不同，取樣點(diǎn)數(shù)量不同，結(jié)果就不一樣了。這樣的結(jié)果沒法拿出去見人。
阿倫方差（Allan Variance）出馬能夠解決大部分問題！

區(qū)別在于，阿倫方差取值是兩個(gè)相鄰時(shí)刻的功率值，做減法。這樣可以在很大程度上避免例如隨著時(shí)間突變?cè)肼晫?dǎo)致的不準(zhǔn)確性。可這還是不夠，1/f噪聲所處的低頻段和白噪聲（散粒噪聲）所處的高頻段離的太遠(yuǎn)了，阿倫方差的計(jì)算結(jié)果還是有問題。

我們不得不轉(zhuǎn)向頻域，因?yàn)轭l域能夠清晰展示不同頻率段的噪聲情況。需要說明的是，盡管阿倫方差這樣的時(shí)域手段對(duì)噪聲的真實(shí)結(jié)構(gòu)描述的不夠理想，他在衡量相對(duì)較長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)的功率穩(wěn)定性，頻率穩(wěn)定度等指標(biāo)時(shí)顯得更為直觀。

3. 頻域手段 

 單頻光纖激光器的各種物理量（強(qiáng)度，頻率，相位）的穩(wěn)定度在頻域通常用其功率譜密度(Power Spectral Density簡(jiǎn)稱PSD)表示。功率譜密度是隨機(jī)過程的時(shí)域統(tǒng)計(jì)表征方法一一自相關(guān)函數(shù)的傅里葉（Fourier）變換。由于噪聲調(diào)制的結(jié)果，物理量的譜分布不再是一條理想的單一譜線，而是以調(diào)制邊帶的形式擴(kuò)展到載頻的兩邊。功率譜密度（PSD）就表示某物理量在一定時(shí)間段的平均功率隨傅里葉（Fourier）頻率變化的分布情況，表示單位頻率內(nèi)所攜帶的功率，單位是每赫茲（Hz）內(nèi)的功率，如果用功率譜密度（PSD）對(duì)整個(gè)頻率積分就可以得到總的平均功率。其實(shí)質(zhì)反映的是構(gòu)成信號(hào)的不同頻率成份的能量一般不同，也即是說不同頻率的信號(hào)分量對(duì)信號(hào)總能量的貢獻(xiàn)不等。

 

4. 自相關(guān)函數(shù)

我們把單頻光纖激光器的噪聲看成是一個(gè)隨機(jī)過程，在時(shí)域，其特征可以用上文提到的方差（標(biāo)準(zhǔn)樣本方差或者阿倫方差）或者自相關(guān)函數(shù)來描述。而在頻域通常用功率譜密度（PSD）來描述，功率譜密度（PSD）由自相關(guān)函數(shù)經(jīng)過傅里葉變換而來。兩者從不同的角度反映著同一個(gè)統(tǒng)計(jì)特性，那就是“功率”。我們先了解一下自相關(guān)函數(shù)：

當(dāng)τ＝0時(shí)，Rx(τ)為X(t) 的均方值，E為集合平均符號(hào)。 

看上去自相關(guān)函數(shù)和方差的計(jì)算方式基本思想幾乎完全相同。理解這一點(diǎn)很重要，這是表達(dá)，統(tǒng)計(jì)，計(jì)算分析隨機(jī)噪聲的基本數(shù)學(xué)手段。自相關(guān)函數(shù)揭示的是相鄰時(shí)刻噪聲狀態(tài)的相似程度，從功率角度看，如果平均時(shí)間為零，那么均方值就是噪聲的平均功率。

自相關(guān)函數(shù)Rx(τ)的頻域叫做自譜密度函數(shù)S_X(ω)，它是自相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換，兩者的關(guān)系就叫維納-辛欽（Weiner-Khintchine）關(guān)系式

 

若令式中τ=0，則可得

 

顯然，若自相關(guān)函數(shù)在τ＝0處表示信號(hào)的“功率”，則式中S_X(ω)的量綱為“功率”/頻率單位，代表單位頻帶上所具有的功率。

 

自相關(guān)函數(shù)的功率譜密函數(shù)S_X(ω)曲線下面包圍的面積乘以常數(shù)1/2π，即為平穩(wěn)隨機(jī)過程X(t)的圴方值E[X²(t)]。

維納-辛欽（Weiner-Khintchine）關(guān)系式的重要性就在于建立了時(shí)域自相干函數(shù)和頻域功率譜密度（PSD）函數(shù)之間的聯(lián)系，也就是說可以通過測(cè)量出物理量的自相關(guān)函數(shù)，然后對(duì)其做傅里葉（Fourier變化），從而得到其功率譜密度（PSD）。這也正是在頻域內(nèi)要使用譜密度而不是用譜的概念來描述穩(wěn)定度的原因，前者在有限測(cè)量時(shí)間內(nèi)是有直接物理意義的，可直接測(cè)試的；而后者只存在于無限時(shí)間樣本的理論分析中，一旦在有限時(shí)間內(nèi)截?cái)鄻颖炯床皇諗浚瑢?shí)際測(cè)試時(shí)很難直接得到。 

5. 功率譜密度表達(dá)單頻光纖激光器噪聲的意義

1.  采用頻域功率譜密度的方法來表達(dá)噪聲能夠清晰展現(xiàn)噪聲的頻率結(jié)構(gòu)，而時(shí)域的手段做不到這一點(diǎn)。說白了，單頻光纖激光器的噪聲在不同的頻率有著不同的特性，用時(shí)域的方法太籠統(tǒng)，不能展示細(xì)節(jié)。比如，單頻光纖激光器的強(qiáng)度噪聲，頻率和相位噪聲在低頻段都具有閃爍噪聲（1/f）的特點(diǎn)，起點(diǎn)的噪聲很高，隨著頻率的增加，快速下降。相對(duì)強(qiáng)度噪聲在幾百kHz到幾MHz階段有馳豫振蕩峰存在，是噪聲的主要成分。在高頻階段，這些噪聲都展現(xiàn)了白噪聲（散粒噪聲）的性質(zhì)。 

2.  通過頻率譜密度（PSD）的計(jì)算，單頻光纖激光器的頻率和相位噪聲變得可以測(cè)量，可以清晰的標(biāo)注出來，用來衡量單頻光纖激光器噪聲性能的優(yōu)劣。比如，NKT Photonics公司這樣表達(dá)DFB型單頻光纖激光器的相位噪聲：

 

這就是通過頻域功率譜密度（PSD）的測(cè)量，再采用一些數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)方法計(jì)算得到的結(jié)果。我們可以清晰地看出來，X15系列單頻光纖激光器在不同的頻率具有不同的相位噪聲值，X15系列在低頻段的相位噪聲要低于E15系列。 

6. 總結(jié)

1.  單頻光纖激光的噪聲包括強(qiáng)度噪聲，以相對(duì)強(qiáng)度噪聲（RIN）來表示，頻率噪聲和相位噪聲，后兩者為近親，測(cè)出一個(gè)另外一個(gè)也直接計(jì)算出來了。 

2.  單頻光纖激光器的噪聲是一個(gè)隨機(jī)過程，其統(tǒng)計(jì)表征手段分為時(shí)域和頻域。 

3.  時(shí)域表征噪聲通常采用方差，常用阿倫方差。不是很完美，因?yàn)閱晤l光纖激光器的噪聲低頻段有1/f噪聲的特性，高頻段有白噪聲（散粒噪聲）的特性，相對(duì)強(qiáng)度噪聲在中頻段（kHz-MHz）還有馳豫振蕩峰存在。 

4.  阿倫方差的方法依然在時(shí)域用來表征相對(duì)長(zhǎng)期的穩(wěn)定度，例如頻率穩(wěn)定度，功率穩(wěn)定度等。 

5.  頻域手段表征單頻光纖激光器的噪聲可以清晰展現(xiàn)噪聲的頻率結(jié)構(gòu)，通過功率譜密度（PSD）來表征，功率譜密度的內(nèi)在含義是單位頻率內(nèi)（1Hz）所包含的“功率”。功率譜密度（PSD）對(duì)整個(gè)頻率積分就可以得到總的平均功率。 

6.  功率譜密度（PSD）描述的是“在一定時(shí)間段內(nèi)，平均功率隨頻率變化的分布情況。” 

7.  單頻光纖激光的噪聲幾乎都采用頻域表征的手段，其單位都帶著“/Hz”含義就是單位頻率內(nèi)的譜密度.比如： 相對(duì)強(qiáng)度噪聲RIN的單位是：dB/Hz或者dBc/Hz，含義是歸一化的單邊帶功率波動(dòng)譜密度，這是一個(gè)比值。 頻率噪聲的單位是：Hz2/Hz（方差）或者Hz/√Hz（均方差） 相位噪聲的單位分兩種，單邊帶噪聲的單位是dBc/Hz或者直接dB（dBc和dB都是比值）; 相位波動(dòng)譜密度單位是：urad/√Hz/m; 都做了均方差處理。 

（未完待續(xù)） 

【說明】本文中部分描述引用了或者基于上光所楊飛先生的博士學(xué)位論文，在此表示尊敬和謝意！